Low-Complexity Channel Estimation for Extremely Large-Scale MIMO in Near Field

首先对系统建模
at time instant $l\in{1,\cdots,L}$ ,the received signal at BS can be expressed as

$\mathbf{y}_l=\mathbf{h}s_l+\mathbf{z}_l=\beta\mathbf{b}(u,v,r)s_l+\mathbf{z}_l$

其中

$[\mathbf{b}(u,v,r)]_m=\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}(p_m(u,v)-q_m(u,v,r))}$

那么对于$L$个snapshot下，M天线的系统模型可以写成

$Y=hs+z$

其中$Y$是$M \times L$矩阵，$h$是$M \times 1$向量，就是response vector，s是输入导频数据$1 \times L$
接着先用最小二乘估计h向量，写成优化形式就是极小化$Y-hs$的F范数。
得到结果

$\hat{\mathrm{h}}=\mathrm{Ys}^*(\mathrm{s}^\mathrm{H}\mathrm{s})^{-1}$

h中包含所有的角度距离信息。

有的文章直接用接收信号求信号的协方差来处理，没有用最小二乘处理

$R=hR_{\mathrm{S}}h+\sigma^{2}I$

这样一般会要求导频数据的协方差$R_S$是单位阵，方便处理。

最小二乘得到h后，便可以信号得到协方差矩阵（二阶统计量）

$\begin{aligned} \mathbf{R}_{i,j}& =|\beta|^2[\mathbf{b}(u,v,r)]_i[\mathbf{b}^\mathrm{H}(u,v,r)]_j \\ &=|\beta|^2\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}(p_i(u,v)-p_j(u,v)+q_i(u,v,r)-q_j(u,v,r))} \end{aligned}$

包含一阶项和二阶项，还是利用对称性来消除二阶项的影响，通过减少原来协方差一个维度的数据来换取解耦。

$[\mathbf{R}_a]_{i,j}=\mathrm{e}^{\frac{j2\pi}{\lambda}(2ivd-(M_Y-1)vd-2jud+(M_Z-1)ud)}$

然后创新点在与解耦以后左右相乘两个DFT矩阵来实现对角度参数的粗估计。

$\begin{aligned} &[\mathbf{R}_{a,\text{DFT}} ] _ { i _ y , i _ z} \\ &=[\mathrm{U}_\text{Y}{ \mathrm{R}_a}\mathrm{U}_Z]_{i_y,i_z} \\ &=\frac1{M_\mathrm{Y}M_\mathrm{Z}}\sum_{m_z=0}^{(M_\mathrm{Z}-1)}\sum_{m_y=0}^{(M_\mathrm{Y}-1)}[\mathbf{R}_a]_{m_y,m_z}\times\mathrm{e}^{-j2\pi\left(\frac{m_zi_z}{M_\mathrm{Z}}+\frac{m_yi_y}{M_\mathrm{Y}}\right)} \\ &\triangleq\frac1{M_\mathrm{Y}M_\mathrm{Z}}W_v(v,i_y)W_u(u,i_z) \end{aligned}$

是一个$M_Y \times M_Z$的矩阵

$\begin{aligned} &W_v(v,i_y) \begin{aligned}=\frac{\sin\left(\pi M_{\mathrm{Y}}\left(\frac{2vd}{\lambda}-\frac{i_{y}}{M_{\mathrm{Y}}}\right)\right)}{\sin\left(\pi\left(\frac{2vd}{\lambda}-\frac{i_{y}}{M_{\mathrm{Y}}}\right)\right)}\mathrm{e}^{j\pi(M_{\mathrm{Y}}-1)\left(\frac{2vd}{\lambda}-\frac{i_{y}}{M_{\mathrm{Y}}}\right)}\end{aligned} \\ &\text{and} \\ &W_u(u,i_z) \begin{aligned}=\frac{\sin\left(\pi M_\mathrm{Z}\left(\frac{2ud}{\lambda}+\frac{i_z}{M_\mathrm{Z}}\right)\right)}{\sin\left(\pi\left(\frac{2ud}{\lambda}+\frac{i_z}{M_\mathrm{Z}}\right)\right)}\mathrm{e}^{-j\pi(M_\mathrm{Z}-1)\left(\frac{2ud}{\lambda}+\frac{i_z}{M_\mathrm{Z}}\right)}\end{aligned} \\ \end{aligned}$

对$e$指数形式的求和必然会出现sin比sin的形式，意思就是只有sin里面等于0才能取到最大值，也就是在二维栅格里的最大的峰值对应粗估计的值。
最终得到粗估计的结引用最初提出DFT论文的一张图。

天线数量越多，所估计的越精确，但遍历所需要时间也越多。
由于天线数量不是足够多的，需要进一步细估计。

$\left(\widehat{\Delta}_u,\widehat{\Delta}_v\right)=\underset{\Delta_u\in[-\frac{\lambda\pi}{dM_Z},\frac{\lambda\pi}{dM_Z}],\Delta_v\in[-\frac{\lambda\pi}{dM_Y},\frac{\lambda\pi}{dM_Y}]}{\operatorname*{arg\max}}[\mathrm{R}_a(\Delta_u,\Delta_v)]_{\vec{i}_y,\vec{i}_z}$

大概思路就是：原来由于天线数量不是足够多的，然后使得实际的最高峰一般不能落在整数点上，造成了能量的泄露。那么需要做的就是，移动半个坐标间距，找到最大的值，就是实际距离。

我认为本质上，第一步就是把角度栅格化，去把真实角度落在一个栅格内，这样粗估计用不了多少算力。然后知道最大值就在这个格子内以后，可以移动坐标轴，去把坐标轴对准格子里的最大值，只需要移动半个格子的距离就可以了，这样细估计也用不了多少算力，二维角度估计就快很多。

接着是距离估计，也做了很多细致的优化。

$\begin{aligned} &\mathbf{b}(u,v,r) \\ &=\mathbf{Q}(u,v)\mathbf{t}(u,v,r) \\ &=\underbrace{\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}p_0(u,v)}\\...\\\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}p_{M-1}(u,v)}\end{bmatrix}}_{\mathbf{Q}(u,v)}\underbrace{\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}q_0(u,v,r)}\\\cdots\\\mathrm{e}^{-\frac{j2\pi}{\lambda}q_{M-1}(u,v,r)}\end{bmatrix}}_{\mathbf{t}(u,v,r)} \end{aligned}$

把response vector分成两部分，一部分只与角度有关，另一部分与角度和距离都有关系。

把music转化成了优化问题：

$\begin{aligned}\min_{u,v,r}~~&\mathbf{t}(u,v,d)^\mathrm{H}\mathbf{T}(u,v)\mathbf{t}(u,v,r)\\\mathrm{s.t.}~~&\mathbf{c}^\mathrm{H}\mathbf{t}(u,v,r)=1,\end{aligned}$

其中

$\mathbf{T}(u,v)=\mathbf{Q}(u,v)^\text{H}{ \mathbf{U}_n}\mathbf{U}_n^\text{H}{ \mathbf{Q}}(u,v)$ $\mathbf{c}=[\underbrace{0,...,0}_{M-1/2},1,\underbrace{0,...,0}_{M-1/2}]^\mathrm{T}$

然后求KKT能得到$t$的闭式解，取$t$的相位记为$a$.
由与二次项中距离在分母，误差会很大，相比于直接求music，引入了参数误差项，来减少对结果的影响，又转化成了优化问题：

$\min_{\hat{r},\hat{\sigma}_r}\left\|\mathbf{f}(\hat{u},\hat{v})\times\left(\frac1{\hat{r}}+\hat{\sigma}_r\right)-\hat{\mathbf{a}}\right\|_{\mathrm{F}}^2$

解法是把$f$构造成了一个矩阵，把$r$和$\sigma$看成了列向量的两个未知数，用最小二乘去解。